Em uma família, as seguintes condições são verdadeiras:
I. Se Pedro não é o mais velho, então Maria é a mais nova.
II. Se João é o mais a…

Question

Em uma família, as seguintes condições são verdadeiras:
I. Se Pedro não é o mais velho, então Maria é a mais nova.
II. Se João é o mais alto, então Maria não é a mais nova.
III. Pedro é o mais velho ou João não é o mais alto.

Assumindo que todas as declarações são verdadeiras, qual das seguintes conclusões é necessariamente verdadeira?

Accepted Answer

Vamos analisar as proposições: P = Pedro é o mais velho; M = Maria é a mais nova; J = João é o mais alto. As premissas são: I. ¬P → M; II. J → ¬M; III. P ∨ ¬J. Se assumirmos que J é verdadeiro, então, por II, ¬M é verdadeiro. Com ¬M, por I, ¬P deve ser falso, o que implica P é verdadeiro. Substituindo na III, P ∨ ¬J se torna Verdadeiro ∨ Falso, que é Verdadeiro. Contudo, se P é verdadeiro e J é verdadeiro, P ∨ ¬J é (V ∨ F) = V. Mas, se João é o mais alto, então ¬M. Se I (¬P → M) é verdadeira e ¬M é verdadeira, então ¬P deve ser falsa. Assim, P deve ser verdadeira. Se João é o mais alto (J), então Maria não é a mais nova (¬M). Se Maria não é a mais nova (¬M), então, pela primeira premissa (Se Pedro não é o mais velho, então Maria é a mais nova), a antecedente 'Pedro não é o mais velho' deve ser falsa, ou seja, Pedro é o mais velho. Portanto, se João é o mais alto, então Pedro é o mais velho. Agora, consideremos a terceira premissa: Pedro é o mais velho ou João não é o mais alto (P ∨ ¬J). Já sabemos que se J é verdadeiro, P também é verdadeiro. Portanto, (V ∨ ¬J) sendo verdadeira não nos ajuda a eliminar ¬J. Agora, vamos tentar por contradição. Suponha que João é o mais alto (J é V). De II (J → ¬M), segue que Maria não é a mais nova (¬M é V). De I (¬P → M), como ¬M é V, então ¬P deve ser Falso, o que implica que P (Pedro é o mais velho) é Verdadeiro. Agora, em III (P ∨ ¬J): P (Verdadeiro) ∨ ¬J (Falso, pois J é Verdadeiro) resulta em Verdadeiro. Nenhuma contradição. No entanto, se tentarmos provar que 'João não é o mais alto' (¬J) é necessariamente verdadeira. Vamos supor que J é verdadeiro. De II, ¬M é verdadeiro. De I, (¬P → M) é equivalente a (¬M → P). Como ¬M é verdadeiro, então P é verdadeiro. Agora, na premissa III (P ∨ ¬J), se P é verdadeiro, a premissa é V ∨ ¬J = V, o que é consistente. Precisamos de uma dedução direta. Se a alternativa D for verdadeira, então ¬J. Se ¬J é verdadeiro, a premissa III (P ∨ ¬J) é verdadeira independentemente do valor de P. Se ¬J é

Answer

A) Pedro é o mais velho e Maria é a mais nova.

Answer

B) João é o mais alto e Maria não é a mais nova.

Answer

C) Maria é a mais nova ou João é o mais alto.

Answer

E) Pedro não é o mais velho.

Raciocínio Lógico · IBFC 2026

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